国际象棋是精神折磨。- 加里-卡斯帕罗夫
卡斯帕罗夫证实，如果下棋是一种折磨，那为什么还要下棋呢？一种观点认为，国际象棋是一个社会陷阱，会让受害者陷入痴迷。下棋是件苦差事，但学会下棋的技巧并开始用优雅的走法、隐蔽的赌博和Zugzwang（蛊惑对手走一步导致将死）取得胜利却很有趣。久而久之，热衷于学习的棋手就会厌倦打击新手；她会寻找与自己水平相当的对手。随着时间的推移，她会发现自己输掉了大约一半的对局。平均而言，应该是这样。撇开以平局告终的棋局不谈，赢棋和输棋各占一半。必须如此。更重要的是，大多数棋手都是如此。在棋手分布的边缘，我们可能会发现高手们以击败弱手为乐，而新手们则通过挑战高手来寻求失败的教训。但一般来说，当天赋和技能严重不匹配时，没有人会感到快乐。因此，大多数棋手面对的都是与自己技术水平相当的对手，他们必须接受这样一个事实：他们经常会输，也经常会赢。
快乐从何而来？国际象棋让人上瘾的潜能在国际象棋网站（chess.com）等在线游戏平台上可能会被放大。有些读者可能会有这样的感受：凌晨两点仍未入睡，眼冒金星，精疲力竭，却向自己保证再下一盘棋就好。我们将把这种陷入悲伤的感觉放在一边，把注意力集中在有合理对局数的日子里，这样我们就能保持每盘棋获胜概率为 0.5 的假设。热手可能存在，但我们还是要简化。
玩家如何才能从每天的游戏中获得一些快乐呢？我们中的一个人（JIK）想到，每天下棋直到赢一局也许是个不错的主意。我们希望有一半的日子只下一盘棋。在四分之一的比赛日，将进行两场比赛；在八分之一的比赛日，将进行三场比赛，以此类推。胜利会带来一次正享乐，而失败则会带来一次负享乐。我们进一步简化，假设胜利的快乐和失败的痛苦一样强烈。
这种自我调节规则有利于幸福吗？JIK 的直觉是这样的。他注意到，每隔一天都会有一场胜利的比赛，这标志着每隔一天都是快乐的一天。多次失败的日子会以几何级数减少，所以何必呢？与其高估小概率事件，不如完全忽略它们，他是这么想的（Krueger & Grüning, 2024）。卡尼曼的痛苦记忆峰值结束法则（peak-end-rule of pain memory）与持续时间忽略法则（duration neglect）认为，最后一个事件会主导情绪和记忆，而之前的失败并不会因为持续时间的增加而变得更糟（卡尼曼，2000 年）。简而言之，JIK 的直觉立足于有偏差的概率信念和对序列中事件的有偏差的记忆。
DJG 的直觉则与之相反。他明确表示，他宁愿玩到输掉游戏为止。这意味着每隔一天只会发生一件令人痛苦的事情，但也可能会有一些（虽然不可能）取得多次胜利的辉煌日子。这种直觉在心理学文献中也能找到朋友–即，它与范围-频率思维（Parducci，1965 年）一致，后者认为积极事件的频率会推动整体幸福感。
这两种直觉都以一种任意的心理捷径为条件：按天来划分整个游戏序列。可以肯定的是，球员必须要睡觉，这就为这种分割提供了一定的意义。一天棋盘经验的余震可能会在大脑α波周期中产生共鸣。然而，逻辑学家和统计学家会反对。让我们把话说清楚，他们会指出，棋手一生所能完成的全部棋局序列意味着，当临近终点时，他们可以回顾50%的胜局和50%的败局（同样，撇开平局和令人沮丧的僵局不谈–对于接近胜局的棋手来说，这也是令人沮丧的，这可以用规范理论来解释；卡尼曼和米勒，1986年）。
撰写这篇文章的最初动力是 JIK 的（错误的）直觉，即胜利后停止的日常游戏规则可能会欺骗长期来看在概率上不可避免的事情。为了提醒自己这种直觉是如何产生的，让我们看一下上面的矩阵，其中 W 指的是赢，L 指的是输。一个序列变得越长–因为在获胜之前承受了更多的损失–它的可能性就越小。一个序列的预期值是 “hedons”（W 为+1，L 为-1）与概率之和的乘积。从输开始的所有天数的期望值总和，就是到最长天数为止的所有序列的期望值总和。我们可以看到，当考虑到四个输球序列时，总期望值（-.34）的绝对值要比一个赢球日的期望值（即 +.5）低 0.16 点。JIK 的错误在于，他认为输掉比赛需要太长时间才能抵消赢下比赛所带来的收益，即使这种情况发生过的话。
在意识到每天的分段是任意的之后，JIK 不得不进行反思，认识到大数定律保证了同样极端的预期值，因此输赢会相互抵消（Stigler，1986 年）。只要记住赢的概率是 p = .5，输的概率是 1 – p，以及赢会带来+1 的幸福感，输会带来-1 的幸福感就足够了。当我们在矩阵中越过虚线向下移动时，我们会发现九个亏损序列的合计期望值几乎达到了单赢一天的绝对期望值。我们中的一个人，NS，提出了一个漂亮的数学证明。只需一点代数和微分，就能看出必然如此。需要证明的人可以索取。
与此同时，JIK 寻找其他方法来逃避不可避免的命运。带着些许良心不安，他想他可能会扔掉一堆棋局来降低自己的技术得分，然后与不会采取这种诡计的对手配对，并享受 p > .5 的胜利。然而，幸福仍然遥不可及。
本文章由 Nada Saaidia 和 David J. Grüning 合著。
本文作者萨拉-雷扎伊是蒙克普若格萨拉大学心理学系的高级研究助理。 在Intagram的一段视频中，卡莉-乌奇斯（KaliUchis）的歌曲”Melting”在背景音乐中轻轻响起，视频中一位女士优雅地做着她精心准备的护肤程序，梳理头发，然后穿上一件浅色棉质白色连…